Mixed exercises: e- and ln-function

Solving these exercises, you may discover the interesting relationships between the $e$ -function and the $\ln$ -function.

Vereinfache jeden der Terme so weit wie möglich

$\ln (e^{7})$

For this task you need the following basic knowledge: Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus. Deswegen:
$\ln (e^{7}) = 7$
$e^{3 \cdot \ln (5)}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:
$e^{3 \cdot \ln (5)} = (e^{\ln (5)})^{3}$
$e^{3 \cdot \ln (5)}$ $=$
↓
Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an.
$(e^{\ln (5)})^{3}$ $=$
↓
Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
$5^{3}$ $=$ $125$

$\ln (\frac{3}{a}) + \ln (6 a)$

$7 \ln (b^{3}) - \ln (b^{21})$

For this task you need the following basic knowledge: Logarithmus-Rechenregeln
Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:
$7 \ln (b^{3}) - \ln (b^{21})$ $=$
↓
Ziehe bei beiden Logarithmen den Exponenten von $b$ vor den Logarithmus.
$=$ $7 \cdot 3 \ln (b) - 21 \ln (b)$
$=$ $21 \ln (b) - 21 \ln (b)$
$=$ $0$
$(e^{b})^{\ln (2)}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
Möglicher Lösungsweg mit den Potenzgesetzen:
$(e^{b})^{\ln (2)}$ $=$
↓
Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an
$=$ $(e^{\ln (2)})^{b}$
↓
Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
$=$ $2^{b}$

Löse die Gleichungen über der Grundmenge $G = ℝ$

$e^{x} = 9,5$

$e^{2 x} = - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialgleichungen lösen
$e^{2 x} = - 3$
Wenn du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest, erhältst du:
$2 x = \ln (- 3)$
Da die Zahl -3 aber nicht in der Definitionsmenge $ℝ^{+}$ des Logarithmus enthalten ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.
Die Lösungsmenge ist also die leere Menge: $𝕃 = {}$
$3 e^{0,1 x + 2} = 18$

For this task you need the following basic knowledge: Exponentialgleichung lösen
$3 e^{0,1 x + 2} = 18 | : 3$
$e^{0,1 x + 2} = 6 | \ln (. . .)$
Zuerst teilst du beide Seiten durch $3$ , so dass der Term mit dem $x$ alleine links steht. Danach wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Gleichung an. Da er die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, verschwindet diese.
$0,1 x + 2 = \ln (6) | \ln (6) \approx 1,79$
$0,1 x + 2 \approx 1,79 | - 2$
$0,1 x = 1,79 - 2$
$0,1 x = - 0,21 | : 0,1$
$x = - 2,1$
Anschließend stellst du die Gleichung um, in dem du die $2$ abziehst und anschließend durch $0,1$ teilst.
Als Lösungsmenge erhältst du:
$𝕃 = {- 2,1}$
$2 \ln x = 18$

For this task you need the following basic knowledge: Logarithmische Gleichung lösen
In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Gleichung mit einem Logarithmus.
$2 \ln x = 18 | : 2$
$\ln x = 9 | e^{(. . .)}$
$x = e^{9}$
Zuerst teilst du durch $2$ , damit nichts mehr vor dem " $\ln$ " steht. Danach wendest du die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so dass das $x$ alleine steht. Dann erhältst du die Lösung:
$𝕃 = {e^{9}}$
Alternativ kannst du natürlich auch den Wert von $e^{9}$ noch berechnen und erhältst:
$x \approx 8103$ .
$\ln (3 x) - \ln (1,5) = 2$

For this task you need the following basic knowledge: Logarithmische Gleichung lösen
In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit einem Logarithmus zu lösen.
Als Erstes wendest du die Rechenregeln des Logarithmus an, um die linke Seite der Gleichung umzustellen.
$\ln (3 x) - \ln (1,5) = 2$
$\ln (\frac{3 x}{1,5}) = 2 | \frac{3 x}{1,5} = 2 x$
$\ln (2 x) = 2 | e^{(. . .)}$
Nun wendest du auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an. Und teilst anschließend durch $2$ .
$2 x = e^{2} | : 2$
$x = \frac{1}{2} e^{2}$
$𝕃 = {\frac{1}{2} e^{2}}$

$\ln (3^{x}) = \ln (27)$

$\ln (5 e^{x + 2}) = \frac{\ln (25)}{2}$

$e^{x^{2}} - 5 e^{x} = 0$

For this task you need the following basic knowledge: Natürlicher Logarithmus
In dieser Aufgabe geht es darum, eine Gleichung mit einer e-Funktion zu lösen. Der Definitionsbereich für diese Gleichung ist $𝔻 = ℝ$ .
1) Schreibe die Gleichung um
$e^{x^{2}} - 5 \cdot e^{x} = 0$
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $5 \cdot e^{x}$
$e^{x^{2}} = 5 \cdot e^{x}$
2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
$l n (e^{x^{2}}) = l n (5 \cdot e^{x})$
Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung und verwende die Potenz zu Produkt Regel an.
Wende auf der rechten Seite der Gleichung die Produkt zu Summe Regel und anschließend die Potenz zu Produkt Regel an.
$x^{2} \cdot l n (e) = l n (5) + l n (e^{x})$
Beachte auf beiden Seiten, dass $l n (e) = 1$ ist.
$x^{2} = l n (5) + x$
3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $x$ und $l n (5)$ .
$x^{2} - x - l n (5) = 0$
Du hast nun eine quadratische Gleichung erhalten.
Löse die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel.
$x_{1 / 2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} + l n (5)} = 0,5 \pm \sqrt{(0,25 + l n (5)}$
$x_{1 / 2} \in 𝔻$ , also ist die Lösungsmenge:
$𝕃 = {0,5 - \sqrt{(0,25 + l n (5)}; 0,5 + \sqrt{(0,25 + l n (5)}}$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Schreibe die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewendet werden kann.
2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
3) Die erhaltene Gleichung ist eine quadratischen Gleichung. Löse diese dann mit der p-q-Formel.

$\frac{e^{3 + 5 x}}{e^{2 x}} = e^{9}$

3
Forme um.
${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
${(e^{x} + e^{- x})}_{}^{2}$
Ausmultiplizieren mit Hilfe der Binomischen Formeln ergibt:
${(e^{x})}^{2} + 2 \cdot e^{x} \cdot e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}$
Vereinfachung der Exponenten mit den Potenzgesetzen bringt:
$e^{2 x} + 2 \cdot e^{x} \cdot e^{- x} + e^{- 2 x}$
Wende erneut die Potenzgesetze an:
$e^{2 x} + 2 \cdot e^{x + (- x)} + e^{- 2 x}$
und zusammengefasst:
$e^{2 x} + 2 \cdot e^{0} + e^{- 2 x}$

Unter Beachtung von $e^{0} = 1$ ergibt sich schließlich:
$e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$ .
Mehrfache Anwendung der Potenzgesetze verwandelt den Term in eine Summe.

$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$
Multipliziere die Klammer aus:
${(e^{x})}^{2} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 \cdot e^{x}$
Wende das Potenzgesetz an:
$e^{2 x} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 e^{x}$
Wende das Potenzgesetz an:
$e^{2 x} - e^{- x + x} + 5 e^{x}$
$e^{2 x} - e^{0} + 5 e^{x}$
Verwende $e^{0} = 1$ :
$e^{2 x} - 1 + 5 e^{x}$

$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$
Wende die Potenzgesetze an:
$e^{3 x + 1 - (- x + 2)}$
Löse die Minusklammer auf:
$e^{3 x + 1 + x - 2}$
und fasse zusammen:
$e^{4 x - 1}$ .

$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$
Wende das Potenzgesetz an:
$e^{- x + (- x) + 2 + 2 x + (- 3)}$
Fasse im Exponenten zusammen und schreibe alternativ ohne Potenz
$e^{- 1} = \frac{1}{e}$

$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzgesetze
$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$
Wende das Potenzgesetz an:
$e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$
Verwende ${(\frac{2}{e^{x}})}^{2} = \frac{4}{e^{2 x}}$ :
$e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - \frac{4}{e^{2 x}}$
Schreibe den Bruch mit Hilfe eines negativen Exponenenten und fasse zusammen:
$e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$
$4 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} = 0$
4
Eine knifflige Aufgabe
Die Klasse übt die Benutzung des Tascherechners: der Wert von $3^{\ln 5}$ soll bestimmt werden.
Plötzlich sagt Jona: "Mist, ich habe aus Versehen $5^{\ln 3}$ berechnet. " Kim guckt auf Jonas Rechner und sagt: "Aber das Ergebnis stimmt doch!"
Die beiden probieren das noch mit einigen anderen Zahlen aus, und jedesmal ist es das Gleiche.
Kannst du begründen, warum immer $a^{\ln b} = b^{\ln a}$ ist?

For this task you need the following basic knowledge: Logarithmus-Regeln
Zwei (positive) Zahlen sind gleich, wenn ihre Logarithmen gleich sind.
Daher kannst du die Gleichung $a^{\ln b} = b^{\ln a}$ logarithmieren.
$a^{\ln b}$ $=$ $b^{\ln a}$
↓
Logarithmiere
$\ln (a^{\ln b})$ $=$ $\ln (b^{\ln a})$
↓
Rechenregel $\ln (x^{y}) = y \ln x$
$\ln b \cdot \ln a$ $=$ $\ln a \cdot \ln b$
Da jetzt auf beiden Seiten das Gleiche steht, gilt die Gleichung für alle positiven Zahlen $a$ und $b$ .
Weil du keine besonderen Eigenschaften des natürlichen Logarithmus benutzt hast, gilt das sogar für alle möglichen Logarithmusfunktionen: immer ist
$\log_{c} (a^{\ln b}) = \log_{c} (b^{\ln a}) .$

$e^{x}$	$=$	$9,5$	$\ln (. . .)$
	↓	Wende die $\ln$ -Funktion an.
$\ln (e^{x})$	$=$	$\ln (9,5)$
	↓	Da $\ln (x)$ die Umkehrfunktion zu $e^{x}$ darstellt, heben sich $e^{\dots}$ und $\ln (\dots)$ auf.
$x$	$=$	$\ln (9,5)$
	↓	Damit hast du die Lösung gefunden. Wenn du möchtest, kannst du $\ln (9,5)$ noch in den Taschenrechner eingeben, einen Näherungswert dafür ausrechnen lassen und das Ergebnis dann zum Beispiel auf 4 geltenden Ziffern gerundet angeben.
$x$	$\approx$	$2,251$
	↓	In die Lösungsmenge schreibst du aber besser das exakte Ergebnis.

$\ln (5 e^{x + 2})$	$=$	$\frac{\ln (25)}{2}$
	↓	Verwende die Produktregel für Logarithmen.
$\ln (5) + \ln (e^{x + 2})$	$=$	$\frac{\ln (25)}{2}$
	↓	Forme $\ln (5)$ zu einem Bruch um, erweitere zu $\frac{2 \cdot \ln (5)}{2}$ und subtrahiere auf beiden Seiten.
$\ln (e^{x + 2})$	$=$	$\frac{\ln (25) - 2 \cdot \ln (5)}{2}$
	↓	Verwende auf beiden Seiten die Potenzregel für Logarithmen.
$(x + 2) \cdot \ln (e)$	$=$	$\frac{\ln (25) - \ln (5^{2})}{2}$
	↓	$\ln (e) = 1$ Vereinfache auf der rechten Seite (Potenz ausrechnen, Logarithmen subtrahieren, es bleibt 0 im Zähler und daher 0 auf der rechten Seite).
$x + 2$	$=$	$0$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten 2.
$x$	$=$	$- 2$

$e^{3 \cdot \ln (5)}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an.
$(e^{\ln (5)})^{3}$	$=$
	↓	Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
$5^{3}$	$=$	$125$

$\ln (\frac{3}{a}) + \ln (6 a)$	$=$
	↓	Ziehe den Quotienten im ersten Logarithmus und das Produkt im zweiten Logarithmus mit den Rechenregeln für Logarithmen auseinander.
	$=$	$\ln (3) - \ln (a) + \ln (6) + \ln (a)$
	$=$	$\ln (3) + \ln (6)$
	↓	Ziehe die beiden Summanden mit den Logarithmus-Rechenregeln wieder zusammen.
$\ln (3 \cdot 6)$	$=$	$\ln (18)$
	↓	Ohne Taschenrechner lässt sich dieser Term nicht weiter vereinfachen.

$7 \ln (b^{3}) - \ln (b^{21})$	$=$
	↓	Ziehe bei beiden Logarithmen den Exponenten von $b$ vor den Logarithmus.
	$=$	$7 \cdot 3 \ln (b) - 21 \ln (b)$
	$=$	$21 \ln (b) - 21 \ln (b)$
	$=$	$0$

$(e^{b})^{\ln (2)}$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz für mehrfache Potenzen an
	$=$	$(e^{\ln (2)})^{b}$
	↓	Die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion ist der natürliche Logarithmus.
	$=$	$2^{b}$

$\ln (3^{x})$	$=$	$\ln (27)$
	↓	Verwende die Potenzregel für Logarithmen.
$x \cdot \ln (3)$	$=$	$\ln (27)$
	↓	Dividiere auf beiden Seiten $\ln (3)$
$x$	$=$	$\frac{\ln (27)}{\ln (3)}$
	↓	Schreibe $\ln (27)$ als $\ln (3^{3})$ und wende die Potenzregel für Logarithmen an.
$x$	$=$	$\frac{\ln (3^{3})}{\ln (3)}$
	$=$	$\frac{3 \cdot \ln (3)}{\ln (3)}$
	$=$	$3$

$\frac{e^{3 + 5 x}}{e^{2 x}}$	$=$	$e^{9}$
	↓	Verwende links die Quotientenregel für Potenzen.
$e^{3 + 5 x - 2 x}$	$=$	$e^{9}$
	↓	Vereinfache links und wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
$\ln (e^{3 x + 3})$	$=$	$\ln (e^{9})$
	↓	Verwende auf beiden Seiten die Potenzenregel für Logarithmen und die Tatsache, dass $\ln (e) = 1$ ist.
$3 x + 3$	$=$	$9$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten 3 und dividiere durch 3.
$x$	$=$	$2$

$a^{\ln b}$	$=$	$b^{\ln a}$
	↓	Logarithmiere
$\ln (a^{\ln b})$	$=$	$\ln (b^{\ln a})$
	↓	Rechenregel $\ln (x^{y}) = y \ln x$
$\ln b \cdot \ln a$	$=$	$\ln a \cdot \ln b$

Mixed exercises: e- and ln-function

Rechnen mit e und ln

1) Schreibe die Gleichung um

2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.